B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)

TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)

\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)

Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.

Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)

Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)

(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)

TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là 

\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)

Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.

dễ quá 

dễ quá

mình biêt s

làm đó

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)

=>\(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

=>ab+bc+ac=0

\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(ab+bc\right)+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

=>\(\left(-ac\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(-ac\right)+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=0\)

=>\(-a^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2=0\)

=>0=0(đúng)

Ta có:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+2b+c}\ge\dfrac{4}{\dfrac{a^2+1}{2}+b^2+1+\dfrac{c^2+1}{2}}=\dfrac{8}{b^2+7}\)

Tương tự

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{a^2+7}\)

\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{c^2+7}\)

Cộng vế:

\(2\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{8}{a^2+7}+\dfrac{8}{b^2+7}+\dfrac{8}{c^2+7}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

1/a+1/b+1/c=0

=>(ab+ac+bc)/abc=0

=> ab+ac+bc=0

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0

=> a^2+b^2+c^2=0

Bạn xem lại đề nhé.

Ta có:

0 < a < 1 ⇒ a - 1 < 0 ⇒ a(a - 1) < 0 ⇒ a2 - a < 0 (1)

Tương tự:

0 < b < 1 ⇒ b2 - b < 0 (2)

0 < c < 1 ⇒ c2 - c < 0 (3)

Cộng (1); (2); (3) vế theo vế ta được:

a2 + b2 + c2 - a - b - c < 0

⇔ a2 + b2 + c2 < a + b + c

⇔ a2+ b2 + c2 < 2 (do a + b + c = 2)